avangard-pressa.ru

Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера - Математика

Уравнения малых колебаний.

Струна – упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но оказывающая сопротивление растяжению.

Колебания каждой точки струны с абсциссой x описываются тремя компонентами вектора смещения , будем рассматривать только такие колебания, в которых смещения струны лежат в одной плоскости (x,t), а вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к оси x (поперечные колебания). Ограничимся рассмотрением только малых колебаний, т.е. таких где можно пренебречь . С точностью второго порядка по длина фиксированного участка струны не меняется во време6ни, т.е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т не меняется со временем, следовательно, Т может быть функцией только х:

В силу предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения Т, возникающего в струне не зависит от времени.

Запишем второй закон Ньютона:

- скорость в направлении оси х, смещением вдоль оси х пренебрегаем. , -посторонние силы

Закон Ньютона запишется виде: - закон колебания струны

У нас малые колебания: и

Окончательно получаем: дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний струны:

,

где - линейная плотность струны, - плотность внешних сил.

В случае, когда и уравнение запишется в виде:

это одномерное волновое уравнение, где ; .

Рассмотрим стержень расположенный вдоль оси х.

Введём следующие обозначения:

- площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведённой через данную точку х, и - модуль Юнга и плотность в сечении с абсциссой х, - величина отклонения вдоль стержня сечения с абсциссой х в момент времени t. Продольные колебания полностью описываются функцией . Малыми мы будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебания, подчиняются закону Гука.

Дифференциальное уравнение малых продольных колебаний:

В случае, когда уравнение запишется в виде:

это одномерное волновое уравнение, где ; .

Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера.

Рассмотрим следующую задачу: Начальные условия существуют, граничные нет - характеристики волнового уравнения с наклоном а. Легко получить общий вид решения этого уравнения: сделаем замену: Преобразованное уравнение будет иметь вид : Функции С1 и С2 произвольные. Каждая из функций F и G являются решениями u. - общий вид решения уравнения. Найдём среди всех возможных решений u найдём такое, которое удовлетворяет начальным условиям - волна бежит вправо с а. - волна бежит вправо с а. общее решение уравнения есть сумма двух произвольных волн, распространяющихся в разные стороны со скоростью а. две половины уравнения струны. Волна, бегущая вправо со скоростью а Н.У.: интегрируем второе и получаем уравнения для определения F и G. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА Полученный результат можно истолковать следующим образом: любое решение уравнения представляется в виде суперпозиции (наложения) прямой и обратной волн. - описывает прямую бегущую волну. - описывает обратную бегущую волну.