avangard-pressa.ru

Задача об инвестировании предприятий - Математика

Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых, в зависимости от количества вложенных средств хi, определяется матрицей (n´n), приведенной в табл. 10.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 10.1

x gi g1 g2 … gi … gn x1 g1(x1) g2(x1) … gi(x1) … gn(x1) x2 g1(x2) g2(x2) … gi(x2) … gn(x2) … … … … … … … xi g1(xi) g2(xi) … gi(xi) … gn(xi) … … … … … … … xn g1(xn) g2(xn) … gi(xn) … gn(xn)

Запишем математическую модель задачи.

Определить X* = ( , , …, , …, ), удовлетворяющий условиям

, (10.1)

(10.2)

и обеспечивающий максимум целевой функции

(10.3)

Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов.

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма Сk ≤ В. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Сk средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется Сk+1 = (Сk – хk) средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств Сn, 0≤ Сn ≤ В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. е. Fn(Сn) = gn(Сn) и хn = Сn.

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось Сk средств (0≤ Сk ≤В). Тогда от вложения в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(Ck), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:

(10.4)

Максимум выражения (10.4) достигается на некотором значении , которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы Sk. Действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1.

Значение функции Беллмана F1(С1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина Сk = (Сk-1 – хk-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение хk, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.

Пример 1.На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gi(xi), представленной в табл. 10.2.

Таблица 10.2

x g1 g2 g3 2,2 2,8 3,2 5,4 4,1 4,8 6,4 5,2 6,2 6,6 5,9 6,4 6,9

Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах xi = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. руб.

Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x3 = 5 млн. руб. отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 10.3, составит g3(x3) = 6,9 тыс. руб., следовательно: F3(C3) = g3(x3).

Таблица 10.3

x3 C3 F3(C3) 2,8 2,8 5,4 5,4 6,4 6,4 6,6 6,6 6,9 6,9

2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

,

на основе которого составлена табл. 10.4.

Таблица 10.4

х2 С2 F2(C2) 0 + 0 0 + 2,8 2 + 0 2,8 0 + 5,4 2 + 2,8 3,2 + 0 5,4 0 + 6,4 2 + 5,4 3,2 + 2,8 4,8 + 0 7,4 0 + 6,6 2 + 6,4 3,2 + 5,4 4,8 + 2,8 6,2 + 0 8,6 0 + 6,9 2 + 6,6 3,2 + 6,4 4,8 + 5,4 6,2 + 2,8 6,4 + 0 10,2

3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

,

на основе которого составлена табл. 10.5.

Таблица 10.5

х1 С1 F1(C1) 0 + 0 0 + 2,8 2,2 + 0 2,8 0 + 5,4 2,2 + 2,8 3 + 0 5,4 0 + 7,4 2,2 + 5,4 3 + 2,8 4,1 + 0 7,6 0 + 8,6 2,2 + 7,4 3 + 5,4 4,1 + 2,8 5,2 +0 9,6 0 + 10,2 2,2 + 8,6 3 + 7,4 4,1 + 5,4 5,2 + 2,8 5,9 + 0 10,8

II этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг. По данным из табл. 9.5 максимальный доход при распределении 5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет: C1 = 5, F1(5) = 10,8.

При этом первому предприятию нужно выделить = 1 млн руб.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий: С2 = C1 – = 5 – 1 = 4 млн руб.

По данным табл. 9.4 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет: F2(4) = 8,6 при выделении второму предприятию = 2 млн руб.

3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия: С3 = C2 – = 4 – 2 = 2 млн руб.

По данным табл. 9.3 находим: F3(2) = 5,4 и = 2 млн руб.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

Х* = (1, 2, 2), который обеспечит максимальный доход, равный

F(5) = g1(l) + g2(2) + g3(2) = 2,2 + 3,2 + 5,4 = 10,8 млн руб.